Op deze pagina vind je een demonstratie van een statistische techniek aan de hand van een voorbeeld.

Meer informatie over hoe je deze pagina kan gebruiken vind je in deze handleiding.

De analyse gebeurt met behulp van R en RStudio. Een inleiding tot deze software vind je hier.

Het voorbeeld op deze pagina is afkomstig van een studie van Van Nieuwenhove & De Wever (2023). Er zijn kleine wijzigingen aangebracht om didactische redenen. De studie is ook uitgebreider dan wat hier wordt gedemonstreerd.

1 Doel

Logistische regressie is een statistische techniek die toelaat om een categorische uitkomstvariabele te modelleren in functie van een reeks predictoren. De predictoren kunnen zowel continu als categorisch zijn. Een eerste voorbeeld van een dergelijk model vind je elders op Statlas terug.

Het is mogelijk om interacties tussen predictoren toe te voegen aan een logistisch regressiemodel en om deze te toetsen. De termen “interactie” en “moderatie” worden beide gebruikt. Daarover gaat deze demonstratie.

Binaire logistische regressie verwijst naar de specifieke situatie waarin de categorische uitkomstvariabele exact twee waarden (“niveaus”) kan aannemen. Er bestaat ook multinomiale logistische regressie, waarbij de uitkomst meer dan twee waarden kan aannemen.

Logistische regressie maakt deel uit van een familie van statistische technieken die gezamenlijk “Veralgemeend Lineair Model” worden genoemd (in het Engels: “Generalized Linear Model”).

Het onderzoek van Van Nieuwenhove & De Wever (2023)

In deze demonstratie belichten we een deel van de studie van Van Nieuwenhove & De Wever (2023). Zij proberen te verklaren waarom mensen wel of niet deelnemen aan opleidingen in het volwassenenonderwijs. Hun onderzoek is in belangrijke mate gebaseerd op een courante theorie in de gedragswetenschappen: de theorie van gepland gedrag (afgekort TGG; in het Engels: “theory of planned behavior”). Kort samengevat stelt deze theorie dat gedrag een gevolg is van de intentie om dat gedrag te stellen, waarbij die intentie op zijn beurt het gevolg is van drie grote groepen van oorzaken:

Perceptie van controle over gedrag (in het Engels: “Perceived behavioral control”)
Perceptie van sociale normen (in het Engels: “Perceived social norms”)
Attitudes

Een van de onderzoeksvragen die Van Nieuwenhove & De Wever (2023) zich stelden was of de intentie om wel of niet een opleiding te volgen in het volwassenenonderwijs kan worden verklaard met behulp van deze drie variabelen¹. Het is duidelijk dat de intentie om wel of niet deel te nemen aan een opleiding een categorische afhankelijke variabele is met twee niveaus. In een eerste fase was het de bedoeling om die te modelleren in functie van de drie grote variabelen uit de TGG. Om die onderzoeksvraag met die predictoren te bestuderen gebruikten de onderzoekers binaire logistische regressie. Hoe dat werkt vind je in een andere demonstratie op Statlas.

Van Nieuwenhove & De Wever (2023) bouwen daarna voort op de TGG met als doel om tekortkomingen in de bestaande wetenschappelijke literatuur over volwassenenonderwijs te remediëren. Tot nu toe is er nog geen studie verschenen die uitdrukkelijk personen met verschillende opleidingsniveaus vergelijkt in de context van de TGG en volwassenenonderwijs. Dat is nochtans een interessante piste omdat mensen met een lager opleidingsniveau mogelijk meer psychosociale barrières ervaren, als gevolg van negatievere eerdere ervaringen met onderwijs. De relatie tussen de TGG-predictoren en de beslissing om een opleiding te volgen zou daardoor verschillend kunnen zijn. De auteurs onderzoeken deze hypothese door interactie-effecten (ook moderatie-effecten genoemd) te toetsen. Dat is wat we op deze pagina zullen demonstreren.

Van Nieuwenhove & De Wever (2023) gaan in hun studie nog een stap verder en onderzoeken ook de rol van psychosociale barrières bij de intentie om een opleiding te volgen. Dat is het belangrijkste doel van hun artikel (dat kan je al afleiden uit de titel). Dergelijke barrières zijn onderbelicht in de literatuur en dus de moeite waard om te onderzoeken. Meer bepaald vermoeden ze dat eerdere ervaringen met onderwijs een psychosociale barrière zouden kunnen vormen om als volwassene opnieuw een opleiding te volgen. Voor dit alles gebruiken zij een model met mediatie. Dat demonstreren we hier niet.

2 Dataset & packages

De dataset laden

De data die voor de demonstratie worden gebruikt zijn online beschikbaar. Gebruik de volgende code om de data in te laden in RStudio.

barrieres <- read.csv('https://statlas.ugent.be/datasets/barrieres.csv')

De dataset barrieres bevat de gegevens van 563 respondenten die een vragenlijst invulden. Deze bestond uit 8 vragen.

Lijst met variabelen

intentie “Ik ben van plan om tijdens de volgende 12 maand deel te nemen aan een vorm van levenslang leren.” De antwoordopties “nee” en “ja” werden gecodeerd als 0 en 1.
pcg Perceptie van controle over het eigen gedrag
psn Perceptie van sociale normen
attitudes Attitudes tegenover het gedrag
opl.niveau Opleiding gehercodeerd in 3 categorieën (1/2/3 = “Laagopgeleid”/“Middenopgeleid”/“Hoogopgeleid”)
leeftijd Een controlevariabele
geslacht Een controlevariabele

Je ziet dat sommige van deze variabelen categorisch zijn. Het is belangrijk dat de categorische predictoren van datatype factor zijn. Anders zal R bijvoorbeeld de numerieke codes (1, 2 en 3) van variabele opl.niveau interpreteren als echte getallen, wat niet correct is.

barrieres$opl.niveau <- factor(barrieres$opl.niveau)
barrieres$geslacht <- factor(barrieres$geslacht)

Om na te gaan dat de omzetting gelukt is kan je het datatype opvragen met de functie class().

class(barrieres$opl.niveau)

[1] "factor"

Merk ook de controlevariabelen leeftijd en geslacht op. Die voegt men toe om meer zekerheid in te bouwen dat de effecten uit de onderzoeksvraag (waarin men dus het meest geïnteresseerd is) accuraat kunnen worden geschat.

Packages

Om een logistisch regressiemodel te fitten heb je genoeg aan het basispakket van R (“base R”). Er zijn geen packages nodig. Om effecten te visualiseren zullen we wel gebruik maken van het package effects. Je kan het eventueel al installeren. Verderop zullen we uitdrukkelijk vermelden wanneer we dat package gebruiken.

install.packages('effects')

3 Onderzoeksvraag en aanpak

De hoofdbedoeling is om te achterhalen of er in de data bewijs te vinden is voor interactie-effecten tussen enerzijds het opleidingsniveau en anderzijds de drie predictoren van de TGG. De aanleiding hiervoor was een vermoeden dat de relatie tussen de TGG-predictoren en de intentie om een opleiding te volgen niet hetzelfde is voor mensen met een verschillend opleidingsniveau.

De strategie om op deze onderzoeksvraag een antwoord te bieden bestaat uit een modelvergelijking aan de hand van een “Likelihood Ratio Test” (LRT). Daarbij ga je een model met een reeks predictoren vergelijken met een ander model dat dezelfde predictoren bevat plus een aantal andere predictoren (en/of effecten). We spreken van “geneste modellen”.

In dit voorbeeld is er sprake van een logistische regressiemodel met vijf predictoren. In een diagram ziet dit model er als volgt uit (klik op de afbeelding om te vergroten):

Dit model is genest in een ander model dat dezelfde vijf predictoren bevat, maar daarnaast ook drie interactie-effecten. Deze zijn in het onderstaande diagram aangeduid als rode pijlen. Dit tweede model noemt men “complexer” dan het eerste model.

De regressievergelijking van dit laatste model ziet er als volgt uit.

\[ \begin{align*} log\left(\frac{\pi}{1-\pi}\right) = & \beta_0 + \beta_1 \: \times pcg + \beta_2 \: \times psn + \beta_3 \: \times attitudes \\ & + \beta_4 \: \times opl.niveau2 + \beta_5 \: \times opl.niveau3 \\ & + \beta_6 \: \times leeftijd + \beta_7 \: \times geslacht1 \\ & + \beta_8 \: \times pcg \times opl.niveau2 + \beta_9 \: \times pcg \times opl.niveau3 \\ & + \beta_{10} \: \times psn \times opl.niveau2 + \beta_{11} \: \times psn \times opl.niveau3 \\ & + \beta_{12} \: \times attitudes \times opl.niveau2 + \beta_{13} \times attitudes \times opl.niveau3 \end{align*} \]

$\pi$ staat daarbij voor de kans op de intentie om een opleiding te volgen. $\frac{\pi}{1-\pi}$ is de odds op de intentie om een opleiding te volgen. De logaritme van de odds wordt ook de logit genoemd.

De modelvergelijking is een hypothesetoets. De nulhypothese bij deze toets luidt dat de twee geneste modellen niet van elkaar verschillen. In dat geval is geen enkel van de interactie-effecten aanwezig. De alternatieve hypothese luidt dat de twee geneste modellen wel van elkaar verschillen. Dan is er ten minste één interactie-effect.

Het is zo goed als zeker dat de modellen minstens een beetje van elkaar zullen verschillen in jouw steekproef. Met de modelvergelijking ga je na of het geloofwaardig is dat deze verschillen aan toeval te wijten zijn.

Terzijde, in dit voorbeeld gebruiken we modelvergelijking om drie verschillende interactie-effecten ineens te toetsen, maar dezelfde methode is even goed bruikbaar om bijvoorbeeld één interactie-effect te toetsen.

4 Visuele exploratie

Je kan meteen een eerste indicatie krijgen van het antwoord op de onderzoeksvraag door enkele eenvoudige plots aan te maken. Hier is de onderzoeksvraag of het effect van pcg, psn en/of attitudes op intentie verschillend is voor verschillende waarden van opl.niveau.

Met de functie levels() kan je de waarden van opl.niveau oproepen. De bedoeling is dus om het effect van de drie predictoren te visualiseren, eerst voor opl.niveau gelijk aan 1, dan voor opl.niveau gelijk aan 2 en ten slotte voor opl.niveau gelijk aan 3.

Om uit barrieres enkel de observaties te selecteren waar opl.niveau gelijk is aan 1, gebruik je de volgende conditie.

opl.laag <- barrieres$opl.niveau == '1' # let op het dubbele gelijkheidsteken!

Met de vector opl.laag kan je nu uit barrieres de rijen halen die aan deze conditie voldoen.

barrieres[opl.laag,]

Dit is een “nieuw” dataframe dat je kan gebruiken als dataset in de functie boxplot().

Het argument horizontal=TRUE doet de horizontale en de verticale as van plaats wisselen. Dat is niet echt nodig, maar het zorgt ervoor dat de predictor op de horizontale as komt en de uitkomst op de verticale as, zoals je waarschijnlijk gewoon bent.

Het argument ylim legt de minimum- en maximumwaarde op de horizontale as vast. Als je dit niet specifieert bestaat het risico dat sommige plots bijvoorbeeld maar van 2 tot 6 gaan, omdat er geen extreme waarden in de dataset aanwezig zijn. Plots met verschillende assen zouden moeilijker op het zicht te vergelijken zijn, dus dat wil je liever vermijden.

boxplot(pcg ~ intentie,
        data=barrieres[opl.laag,], 
        horizontal=TRUE,
        ylim=c(1,7)
        )

Uit deze plot kan je afleiden dat bij lagere waarden van pcg de intentie vooral gelijk is aan 0 en bij hogere waarden zie je dat de intentie eerder gelijk is aan 1.

Die eerste plot leert je nog niets over de onderzoeksvraag. Daarvoor moet je het effect van pcg bij opl.niveau gelijk aan 1 vergelijken met het effect bij opl.niveau gelijk aan 2 en 3. Je hebt dus ook plots nodig voor die condities. Daarna moet je dit allemaal nog eens herhalen voor de predictoren psn en attitudes! Je hebt dus in totaal 3 $\times$ 3 $=$ 9 plots nodig: er zijn immers drie predictoren die elk (zouden) interageren met opl.niveau, dat drie niveaus heeft. De code voor elk van die plots is heel gelijkaardig. Klik op de link om de code voor alle plots te zien.

Je ziet de 9 plots hieronder.

De vraag die je hier visueel probeert te beantwoorden is deze: is het effect van pcg, psn en/of attitudes verschillend bij verschillende waarden van opl.niveau? Visueel verkennen van het antwoord houdt in dat je nagaat of er in minstens één kolom verschillende effecten te zien zijn tussen de drie plots in die kolom.

Het antwoord is niet 100% duidelijk. Er zijn misschien wel kleine verschillen, maar zou dit niet aan toeval te wijten kunnen zijn? Het ziet eruit als een twijfelgeval. Meer duidelijkheid zal je hier pas krijgen door een formele significantietoets uit te voeren.

5 Modelspecificatie in R

Om de onderzoeksvraag te beoordelen ga je dus twee geneste modellen vergelijken. Daarvoor zal je in R elk model specifiëren, fitten en opslaan in een object. In een volgende stap zal je de modellen vergelijken met behulp van de functie anova().

Eerst het minder complexe model, zonder interacties. Je vertelt erbij uit welk dataframe de gegevens moeten komen (argument data) en welk soort analyse je wil uitvoeren (argument family). Dat laatste is nodig omdat glm ook andere soorten analyses dan logistische regressie aankan. Je kiest voor link = "logit" omdat je een logaritme van de odds wil modelleren.

formula.mdl <- 'intentie ~ pcg + psn + attitudes + leeftijd + opl.niveau + leeftijd + geslacht'
mdl <- glm(formula = formula.mdl, data = barrieres, family = binomial(link = 'logit'))

Je ziet dat hier in twee stappen wordt gewerkt. Dit is enkel voor de leesbaarheid van de code.

Vervolgens specifieer en fit je het complexere model.

formula.mdl.interactie <- 'intentie ~ pcg*opl.niveau + psn*opl.niveau + attitudes*opl.niveau + leeftijd + geslacht'

Je gebruikt de asterisk * om interactie-effecten te coderen. Merk op dat alle variabelen die in een interactie-effect betrokken zijn, automatisch ook als hoofdeffect aan het model worden toegevoegd wanneer je * gebruikt. Dat is een goede zaak: zonder die hoofdeffecten in het model loop je het risico dat je schattingen van de interactie-effecten fout zijn.

De modelspecificatie kan ook wat korter. Zo hoef je opl.niveau geen drie keer te schrijven.

formula.mdl.interactie <- 'intentie ~ (pcg + psn + attitudes)*opl.niveau + leeftijd + geslacht'

Het model fitten doe je opnieuw met glm().

mdl.interactie <- glm(formula = formula.mdl.interactie, data = barrieres, family = binomial(link = 'logit'))

6 Modelvergelijking

Wanneer de modellen eenmaal gefit zijn kan je overgaan tot de modelvergelijking aan de hand van een “likelihood ratio test” (LRT). Dat is een hypothesetoets:

De nulhypothese stelt dat beide modellen niet van elkaar verschillen (in technische termen: er is geen verschil in “deviance”).
De alternatieve hypothese stelt dat het complexere model beter is (er is wel een verschil in “deviance”).

anova(mdl, mdl.interactie, test='LRT')

Analysis of Deviance Table

Model 1: intentie ~ pcg + psn + attitudes + leeftijd + opl.niveau + leeftijd + 
    geslacht
Model 2: intentie ~ (pcg + psn + attitudes) * opl.niveau + leeftijd + 
    geslacht
  Resid. Df Resid. Dev Df Deviance Pr(>Chi)
1       528     539.48                     
2       522     533.39  6   6.0956   0.4126

Met een p-waarde van 0.4126 kan je de nulhypothese niet verwerpen op het 5% significantieniveau. Er is met andere woorden geen bewijs gevonden voor de bewering dat het model met interactie-effecten beter is.

Antwoord op de onderzoeksvraag

Dankzij de modelvergelijking heb je meteen een antwoord op de onderzoeksvraag. Er is geen bewijs gevonden voor de vooropgestelde interactie-effecten.

In wat volgt zullen we, louter voor de demonstratie, toch verder werken met het model met interactie-effecten.

7 Het model beoordelen

Soms vragen onderzoekers zich af wat de verklarende kracht is van een model in zijn geheel. Om dat te achterhalen in de context van logistische regressie bestaan verschillende technieken die al elders op Statlas aan bod komen. Hier zullen we dit dus niet herhalen.

8 Uitgebreide output opvragen

Met de functie summary() kan je veel relevante informatie over het model opvragen.

summary(mdl.interactie)


Call:
glm(formula = formula.mdl.interactie, family = binomial(link = "logit"), 
    data = barrieres)

Deviance Residuals: 
    Min       1Q   Median       3Q      Max  
-2.0341  -0.8073  -0.3302   0.8245   2.5028  

Coefficients:
                       Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept)           -6.728622   1.361546  -4.942 7.74e-07 ***
pcg                    0.468985   0.212487   2.207 0.027306 *  
psn                    0.561931   0.145379   3.865 0.000111 ***
attitudes              0.285993   0.215069   1.330 0.183593    
opl.niveau2            0.091777   2.102805   0.044 0.965187    
opl.niveau3            1.056392   1.894095   0.558 0.577029    
leeftijd              -0.013319   0.008384  -1.589 0.112140    
geslacht1              0.058048   0.225221   0.258 0.796610    
pcg:opl.niveau2       -0.057955   0.340877  -0.170 0.864997    
pcg:opl.niveau3       -0.335319   0.278980  -1.202 0.229385    
psn:opl.niveau2        0.193728   0.248474   0.780 0.435585    
psn:opl.niveau3       -0.197343   0.186187  -1.060 0.289182    
attitudes:opl.niveau2 -0.094408   0.337412  -0.280 0.779632    
attitudes:opl.niveau3  0.410814   0.312453   1.315 0.188576    
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)

    Null deviance: 721.95  on 535  degrees of freedom
Residual deviance: 533.39  on 522  degrees of freedom
  (27 observations deleted due to missingness)
AIC: 561.39

Number of Fisher Scoring iterations: 5

De parameterschattingen onder Estimate zijn interessant omdat die het (eventuele) effect van de predictoren kwantificeren. Die kan je vervolgens gebruiken om ook predicties te genereren. Verderop in deze demonstratie lees je dus …

hoe je parameterschattingen kan interpreteren (natuurlijk met speciale aandacht voor interactie-effecten)
hoe je predicties kan genereren aan de hand van diverse waarden voor de predictoren.

9 Parameterschattingen interpreteren

In logistische regressie zijn het niet de waarden van de uitkomstvariabele zelf die gemodelleerd worden in functie van predictoren, maar wel de logaritmes van de odds. In dit voorbeeld gaat het om de odds op het hebben van de intentie om een opleiding te volgen. Voor een uitgebreidere uitleg over logaritmes, odds en oddsratio’s, kan je in deze syllabus terecht.

In de output van summary(mdl.interactie) vind je een kolom Estimate. Daarin staan parameterschattingen. De interpretatie van deze waarden is niet zo eenvoudig. Wat je wel kan doen is deze kolom met parameterschattingen omrekenen naar odds en oddsratio’s. De kolom maakt deel uit van het object mdl.interactie en kan je afzonderlijk selecteren met mdl.interactie$coef. Vervolgens geef je dit aan de functie exp().

exp(mdl.interactie$coef)

          (Intercept)                   pcg                   psn             attitudes           opl.niveau2 
           0.00119618            1.59837123            1.75405559            1.33108353            1.09612031 
          opl.niveau3              leeftijd             geslacht1       pcg:opl.niveau2       pcg:opl.niveau3 
           2.87597587            0.98676949            1.05976550            0.94369246            0.71510997 
      psn:opl.niveau2       psn:opl.niveau3 attitudes:opl.niveau2 attitudes:opl.niveau3 
           1.21376552            0.82090896            0.90991187            1.50804515

Deze odds en oddsratio’s zijn makkelijker te interpreteren.²

Onder (Intercept) vind je de geschatte odds voor iemand met waarde 0 voor alle predictoren.

Er zijn ook parameters voor de hoofdeffecten. Bijvoorbeeld, bij pcg zie je 1.5984 staan. Dit is een oddsratio, net zoals in een model zonder interactie-effecten, maar let op! De interpretatie is niet helemaal dezelfde als in een model zonder interactie-effecten. In dit model is er namelijk een interactie-effect tussen pcg en opl.niveau. Dat betekent dat het effect van pcg op intentie verschillend is naargelang de waarde van opl.niveau. Het getal 1.5984 stelt het effect voor van pcg op de odds van intentie, maar enkel voor het referentieniveau van de categorische variabele opl.niveau.

Dus wanneer opl.niveau de waarde 1 heeft (wat staat voor “laagopgeleid”), verwachten we voor elke eenheid toename van pcg dat de odds op intentie veranderen met factor 1.5984. Deze oddsratio is groter dan 1 , dus we verwachten dat de odds op intentie groter wordt naarmate pcg hoger is.

Wat is dan het effect van pcg voor andere niveaus van opl.niveau? Bijvoorbeeld het effect van pcg voor opl.niveau gelijk aan 2 kan je bekomen door 1.5984 te vermenigvuldigen met 0.9437. Het resultaat van deze vermenigvuldiging 1.5084 is ook een oddsratio.

Wanneer opl.niveau de waarde 2 heeft, verwachten we voor elke eenheid toename van pcg dat de odds op intentie veranderen met factor 1.5084. Deze oddsratio is groter dan 1, dus we verwachten dat de odds op intentie groter wordt naarmate pcg hoger is, maar in mindere mate dan wanneer opl.niveau gelijk is aan 1.

10 Visualiseren

Om de geschatte effecten te visualiseren kan je het effects-package gebruiken. Dat moet je eenmalig installeren en daarna bij elke R-sessie laden.

install.packages('effects')         # eenmalig
library(effects)                    # bij elke sessie

Omdat de onderzoeksvraag gaat over interactie-effecten is het de bedoeling om het effect van bijvoorbeeld pcg afzonderlijk te zien voor opl.niveau gelijk aan 1, 2 en 3. De functie predictorEffect() zorgt daar vanzelf voor. Je geeft enkel de predictor in kwestie en het modelobject mdl.interactie. De functie “weet” dat pcg in je model betrokken is in een interactie met opl.niveau en genereert vanzelf een plot voor elk niveau van die variabele.

effects.pcg <- predictorEffect('pcg', mdl.interactie)
plot(effects.pcg)

Op de horizontale as van elke plot verschijnen de verschillende waarden die de predictor kan aannemen. De verticale as toont de kans (dus niet de log(odds) of de odds!) op intentie voor elke waarde van de predictor. Kansen aflezen op de verticale as is niet noodzakelijk interessant. De plot toont immers de lineaire relatie tussen de predictor en de uitkomst intentie voor specifieke vaste waarden van de overige predictoren (zoals attitudes of leeftijd). Voor andere waarden van de overige predictoren zal de rechte hoger of lager liggen. Het interessante aan een dergelijke plot is de helling van de rechte. Die vertelt je iets over de relatie tussen de predictor en de uitkomst.

Merk ook op dat de verticale as herschaald is. De streepjes bij 0.1 en 0.2 liggen niet even ver uit elkaar als de streepjes tussen 0.2 en 0.3, enzovoort. Dat komt omdat in een logistisch regressiemodel de kans geen lineaire functie is van de predictoren.

Gelijkaardige plots voor psn en attitudes bekom je op analoge wijze.

11 Predicties

Dankzij de schattingen die we hebben bekomen in de output van summary(mdl.interactie) is het nu mogelijk om predicties te berekenen. Voor een persoon met bepaalde waarden voor de predictoren kan je berekenen wat de geschatte waarde is voor de uitkomstvariabele.

Log-schaal of logit-schaal

In logistische regressie modelleren we niet intentie (de uitkomstvariabele) zelf in functie van de predictoren, maar wel de logaritme van de odds op intentie. Wanneer je waarden voor de predictoren in de regressievergelijking stopt, dan kom je natuurlijk waarden voor de logaritme van de odds (“logit”) uit, niet voor de uitkomstvariabele zelf. Voor meer uitleg kan je opnieuw terecht in deze syllabus.

Je kan de logaritme van de odds zelf berekenen door waarden voor de predictoren in te vullen in de regressievergelijking.

\[ \begin{align*} log\left(\frac{\pi}{1-\pi}\right) = & \beta_0 \\ & + \beta_1 \: \times pcg \\ & + \beta_2 \: \times psn \\ & + \beta_3 \: \times attitudes \\ & + \beta_4 \: \times opl.niveau2 \\ & + \beta_5 \: \times opl.niveau3 \\ & + \beta_6 \: \times leeftijd \\ & + \beta_7 \: \times geslacht1 \\ & + \beta_8 \: \times pcg \times opl.niveau2 \\ & + \beta_9 \: \times pcg \times opl.niveau3 \\ & + \beta_{10} \: \times psn \times opl.niveau2 \\ & + \beta_{11} \: \times psn \times opl.niveau3 \\ & + \beta_{12} \: \times attitudes \times opl.niveau2 \\ & + \beta_{13} \times attitudes \times opl.niveau3 \end{align*} \]

Je kan dit makkelijk opvragen in R voor alle observaties in je dataset. Gebruik daarvoor de functie predict().

predict(mdl.interactie)

            1             2             3             4             5             6             7             9 
 0.8940863745  0.4627470154  1.3778612262 -0.5339392010 -0.5731288259  0.5491901365  0.8455989981 -1.1423837676 
           10            11            12            13            14            15            16            17 
-0.5694729302  0.4050374368 -2.6896959687  0.2227711979  1.7860455952  0.1510005526 -2.8692280288  0.9945750516 
           18            19            20            21            22            23            24            25 
 1.4208966907  1.1960654256  0.6557918895 -1.9310103051 -3.2425849358  0.7451913508  0.9179306588 -0.5968843856 
           26            28            29            30            31            32            33            34 
-2.3843109905  1.5220177659 -1.6326229974 -2.8674598779  1.6957399752 -0.6600681969  0.6376660915 -1.3396029023 
           35            36            37            38            39            40            41            42 
 1.2411409168  0.0970410540 -3.2928798367  0.3981637308  1.0046589553  1.5264742581 -0.7901706998 -2.9195135261 
           43            44            45            46            47            48            49            50 
 1.3273779388 -0.3798045553 -2.7941038091  0.8606917902 -3.4821126684  0.3764287308  1.0570279413  1.6582415444 
           51            52            53            54            55            56            57            58 
-0.9428208953 -4.2576892501 -0.5874792545 -4.7105759285 -1.7696848096 -1.9889664256  0.2939497292  1.4655772423 
           59            60            61            62            63            64            65            66 
-0.8286490193 -0.0164879120 -0.7937696662 -1.8361612539  0.3844795950  1.6138200755 -1.4250638168  0.7146781172 
           67            68            69            70            71            72            73            74 
-0.0110396531 -0.7453001384  0.7025626124 -0.6176474416  1.5604372144  0.3836429373 -1.8780556142 -1.2679739860 
           75            76            77            78            79            80            81            82 
 0.8882383342  1.1479092331 -1.1174658370 -0.6312541517 -0.8825769486  0.1396256741 -2.5796789857 -2.6330771252 
           83            84            85            86            87            88            89            90 
-0.4088291253 -0.9304770760 -0.1207463231 -0.2444520110  0.0862213568 -3.2576874090 -3.1213258193 -1.7172518321 
           91            92            93            94            95            96            97            98 
-1.2340295722 -2.1300719141 -2.0129726220 -2.5971325146 -1.4472272304  0.6565307398 -1.2597069296 -0.9156833298 
           99           100           101           102           103           106           107           108 
-0.3717385207 -1.7290512867 -0.4742436611 -5.8268447165 -0.7896973679 -1.5623537228  1.1792243438 -0.7035325716 
          109           110           111           112           114           115           116           117 
 0.0822795339  1.7973473677 -0.3277798810 -2.5493223485 -3.1610612190 -0.7634254008 -1.3221705970  0.8516497714 
          118           119           120           121           122           123           124           125 
 1.3184657410 -0.9040459474  0.8208693313 -0.9576979342 -0.4653364542 -1.8948879831 -0.3289162536 -0.7342758568 
          126           127           128           129           130           131           132           133 
-5.3291225508 -3.9144968087 -0.8098888738 -2.1724930873 -2.3712280425 -1.1307032959 -0.9631766858 -2.4688959424 
          134           135           136           137           138           139           140           142 
-2.3847404130 -3.6107893565  2.0030387100 -0.0035000410 -0.9468717406  0.9197855522 -0.0181876186 -1.2276071984 
          143           144           146           147           148           149           150           151 
 1.1076421388 -2.3425917188  1.9105008345 -0.5124757669  1.0448179248  1.3871697783  1.3827678278 -0.4763591035 
          152           153           154           155           156           157           158           159 
-3.1206358641  1.9337868844  0.1640168840 -3.0523996995 -1.6787110690 -3.8630348373 -2.7317002894  0.9666128941 
          160           161           162           163           165           166           168           169 
 0.5609452539  1.4890474508 -2.7634102135 -1.9750364984 -1.7889109975 -0.2810940030 -2.1890561176  1.7624781496 
          170           171           172           173           174           175           176           177 
-1.8249609470 -3.3873540301  0.5269638412  0.9330767504 -1.9471979339  0.0615696636 -1.7046852576 -0.4644546873 
          178           179           180           181           182           183           184           185 
-0.5614784230 -1.1329958594 -0.3415169647 -0.5981719727  0.4956991506  1.3979139194 -1.5185305818  0.8687965810 
          187           188           189           190           191           192           193           194 
 1.7295396721 -1.2270570449  1.2989774972 -0.5958297591 -0.1891619757  0.2165518880  0.5935751040  1.2072144618 
          195           196           197           198           199           200           201           202 
 0.0634688796  0.4442016956 -0.4197705281 -0.5383644482  1.2421088129 -0.7133164050  1.6101218533  0.6387509041 
          203           205           206           207           208           209           210           211 
-0.9933640036 -1.8430521660 -0.2072335802  0.2218136787  0.0371263337  0.4300711509  2.0151889283  0.3432465547 
          212           213           214           215           216           217           218           219 
 1.2481917115  0.8102082852 -1.0055187921 -0.1573528898  1.2565710855  0.5769963540  0.6716530847  0.9569808328 
          220           221           222           223           224           225           226           228 
-1.0185113947  1.6839814473  0.3430440211  0.6438659501  1.5382015409  1.7559700987  1.6543361249  1.0254472144 
          229           230           231           232           233           234           235           236 
-1.0887173078  1.3648412475  0.3934690618 -0.9252326909  0.2047834400 -0.4472954124  2.0518887105  0.4054751654 
          237           238           239           240           241           242           243           244 
-3.4901278719 -4.7532094186  1.0876074861 -0.0796708134 -0.0208131963  0.0195848081  1.6157275194  1.1606072398 
          245           246           247           248           249           250           251           252 
 1.6052736706 -1.1117932902  1.0195903826  1.0359010632  0.6291263050  0.7655743626  1.4701633512  0.6925962420 
          254           255           256           257           258           259           260           261 
-0.2267715312 -3.7629288951 -0.3374029967  0.3039721017 -3.1785170237  1.4085356913 -2.0310865574 -2.3375608321 
          262           263           264           265           266           267           268           269 
 1.2687213039  1.0132736993 -0.3416951844 -2.1279595270  0.2011928311 -0.7291597205 -1.8777254193 -2.6472131248 
          270           271           272           273           274           276           277           278 
-2.7291692237  1.7424037110  2.2014992161 -2.8270817801  0.7027196901  0.9105808081 -1.7260225062 -3.0857859009 
          279           280           281           282           283           284           286           287 
-2.1272322303  1.0913142491  0.1929332762  0.4479460007 -2.6118712979 -2.8365292439 -4.9958773276 -0.3041996616 
          288           289           290           291           292           293           294           295 
-0.5431368553 -1.9235369063  1.9030281029 -0.6292821322 -1.2494090089  0.6378691372 -3.3283641998 -0.2286988326 
          296           297           298           299           300           301           302           303 
-0.0038636894  0.2088023281 -0.3740371704 -1.2732879036 -3.4257818222 -1.9818196806  1.4180566970 -0.1974932261 
          304           305           306           307           308           309           310           311 
 0.6828563259 -2.6482400222 -3.4326064850  0.9749087925 -3.1412785046 -0.7899200100  0.1563661335 -2.5317365707 
          312           313           314           315           316           317           318           319 
-2.6808923923 -0.3611266958 -1.9793224113 -1.3026988548 -0.5479803743 -1.2845598207 -5.4310554166 -4.1041329373 
          321           322           323           324           325           326           327           328 
-0.0001480433 -1.9145163615  0.7359290402  2.0738222664  1.2424303282 -0.4617666491 -1.4835334717  1.1877940455 
          329           330           331           332           333           334           335           336 
 0.4844949799 -0.2646302291  0.4538803130 -2.6262957041 -1.0172872401  0.6155684581 -1.2759650892 -3.9361746044 
          337           338           339           340           341           342           343           345 
 0.8470521821 -1.2138692363 -1.7005299962 -0.1344266926  0.3815041337 -2.9390057205 -0.0600193103 -0.6949793946 
          346           348           349           350           351           352           353           354 
 1.6842569837  1.7504360561 -1.7149745965  0.5388073996 -1.7953849058 -1.3988981612 -2.1476490396 -1.8191174573 
          355           356           357           358           359           360           361           362 
-4.3722349955  1.2905154088 -2.8992367058  0.5467700757 -0.8365276327 -1.8463345634 -0.8529552985  0.0374616682 
          363           364           365           366           367           368           369           370 
 1.4852585525  1.1705830186  0.2267069036 -0.3630720347  0.8039307285 -0.5547858790 -0.4031831881 -0.8040720532 
          371           372           373           374           375           376           377           378 
-4.2657620112  0.9926893531  1.2897485979 -0.3439437197  0.7026023524 -0.4223527451  1.6945680971  1.4149674549 
          379           380           381           382           383           384           385           386 
-0.2565665813 -0.5088253072  0.8265580924 -2.8801190979 -1.0992982640  1.7036376142 -1.6510880086 -2.6283486807 
          387           388           389           390           391           392           393           394 
-2.7429850175 -1.0301366950 -2.2529536775  0.5348934393  1.7833978303 -0.1758305428 -0.8463602756  1.6100142400 
          395           396           397           398           399           400           401           402 
-0.3784900583  0.0427599603 -3.6719897749 -2.6963208628  0.1099019534  0.9135026051  2.2846093672 -3.2530237060 
          403           404           405           406           407           408           409           411 
-0.7858433812 -1.4612641754 -0.7483320523  0.6592629019  0.8354881585 -2.1344155685 -0.7738966860 -0.0695901941 
          412           413           414           415           416           417           418           419 
-0.2456500742 -1.7840606241  1.0103290834 -0.6061143629  0.5886979905  0.7483097526 -2.4118259473  0.3871449114 
          420           421           422           423           424           425           426           427 
-0.5358450883 -2.4049136956 -0.0718428928  0.2217903819 -2.0555604854 -0.1125642486  0.9512409722 -0.3938927707 
          428           429           430           431           432           433           434           435 
-2.1588078165 -4.5587758740 -0.3974711447 -3.4972741955 -2.7468451507 -4.0240010826 -1.2376649821 -0.8601758841 
          436           437           438           439           441           442           443           444 
-1.8247072765 -2.1982822065 -0.9086786312 -2.5908868923  1.6104292273 -2.8643858526  0.8676644888 -0.6341982718 
          445           446           447           448           450           451           452           453 
 1.1083677846 -2.7974586173 -0.9124265594 -2.8582137109 -0.6158904267  0.5542043514 -1.4595593045  0.6855187555 
          454           455           456           457           458           459           461           463 
-2.7369141960 -0.5084103725  1.8935914136 -0.8462845151 -0.3956268602 -0.0550595988 -3.4517531755  0.2924904180 
          464           465           466           467           468           469           470           472 
 0.9901948466 -0.9144668043 -1.1576740585 -1.9024286598  0.1010148125 -1.0166984656 -0.4239323605 -0.2669242884 
          473           474           475           476           477           478           479           480 
-1.6209462419 -0.3192900864 -1.6191873759  2.2403585942 -1.6380580036 -1.7799666805 -2.2638581753  0.8188496103 
          482           483           484           485           486           487           488           489 
-3.0046993081 -2.1354733571 -0.3996634031 -5.4194562845  0.0314578109 -1.6636741952  0.7422213528  1.1319891691 
          490           491           492           494           495           496           497           498 
-0.0681825655 -0.2497929443 -1.5651837840 -2.9511510495  0.6798121260  1.4605792628  0.6687839077 -1.3595444386 
          499           500           501           502           503           504           505           506 
 0.4852453018 -0.6834903323 -1.5992723938 -0.9588152704 -2.3153892559 -2.5295149790  1.3098463333  0.9107699650 
          507           508           509           510           511           512           513           514 
 1.3775868811 -1.6641746984  0.7232922110 -1.5135646595  0.1068243915  1.5190366486 -1.5405124410 -0.3091638590 
          515           516           517           518           519           520           521           522 
-2.1302055216  0.8602866776 -0.8120769256 -1.6949674651 -4.2158387611 -3.8799901085 -2.6844892140 -3.3170459998 
          523           524           526           527           528           529           530           531 
-1.7394192844 -0.8559994984 -1.5168666890  0.9065439669 -2.6020032851 -1.3006507001 -0.5288519833 -3.4022228615 
          532           533           534           535           536           537           538           539 
-1.6605536368 -2.5283791167 -0.9578140883  0.7637717591  0.8979090192  1.2841780539 -3.6111455265  0.1821164971 
          540           541           542           543           544           545           546           547 
 1.0044910322 -1.7798993323 -0.9722192452  1.2147370856 -0.9064304484 -2.3249133206 -1.1635179397 -3.5888445168 
          548           549           550           551           552           553           554           555 
 0.0198702646 -3.0874133461 -1.7630702345 -2.8838505433  0.3264699349 -2.9574010827 -0.0187906290 -3.9587424709 
          556           557           558           559           560           561           562           563 
-0.1977488118 -2.2811991319 -2.1180314684 -2.9271852842 -1.2855652634 -2.9008613405 -1.7519625289 -0.1092975027

Bijvoorbeeld, voor de 54e observatie in de dataset kan je aflezen dat $log\left(\frac{\pi}{1-\pi}\right) = -4.7105759$. Als je dat wil kan je altijd narekenen dat dit inderdaad de juiste geschatte log(odds) is voor een persoon met volgende waarden voor de predictoren:

  pcg      psn attitudes opl.niveau leeftijd geslacht
 2.75 1.666667  1.833333          1       55        0

De log(odds) is niet zo interessant om te rapporteren. Je rekent predicties op de log(odds)-schaal best om naar odds of naar kansen. Hieronder tonen we hoe je dat kan doen.

Odds-schaal

Predicties op de odds-schaal kan je bekomen door het getal $e$ te verheffen tot de macht $\beta_0 + \beta_1 \: pcg+ \beta_2 \: psn+ \beta_3 \: attitudes$.

Opnieuw kan je dit laten berekenen voor alle observaties in je dataset. Het commando predict(model1) leverde log(odds) op. Om hieruit de odds te berekenen in R gebruik je de functie exp().

log.odds <- predict(mdl.interactie)
exp(log.odds)

          1           2           3           4           5           6           7           9          10          11 
2.445100862 1.588431443 3.966409297 0.586290897 0.563758773 1.731849888 2.329372686 0.319057556 0.565823589 1.499358630 
         12          13          14          15          16          17          18          19          20          21 
0.067901580 1.249534645 5.965814515 1.162997301 0.056742713 2.703575217 4.140831821 3.307079341 1.926667621 0.145001629 
         22          23          24          25          26          28          29          30          31          32 
0.039062790 2.106844543 2.504103181 0.550524188 0.092152452 4.581460189 0.195416325 0.056843132 5.450677839 0.516816088 
         33          34          35          36          37          38          39          40          41          42 
1.892059828 0.261949668 3.459558282 1.101905610 0.037146719 1.489087820 2.730975729 4.601922993 0.453767331 0.053959931 
         43          44          45          46          47          48          49          50          51          52 
3.771142247 0.683995079 0.061169669 2.364796071 0.030742394 1.457071691 2.877805260 5.250070706 0.389527468 0.014154973 
         53          54          55          56          57          58          59          60          61          62 
0.555726365 0.008999593 0.170386685 0.136836783 1.341716453 4.330042002 0.436638779 0.983647270 0.452137173 0.159428258 
         63          64          65          66          67          68          69          70          71          72 
1.468849726 5.021958894 0.240493115 2.043528800 0.989021060 0.474591835 2.018919793 0.539211473 4.760902325 1.467621315 
         73          74          75          76          77          78          79          80          81          82 
0.152887088 0.281401167 2.430843543 3.151596763 0.327107689 0.531924269 0.413715413 1.149843302 0.075798332 0.071857009 
         83          84          85          86          87          88          89          90          91          92 
0.664427756 0.394365523 0.886258754 0.783133569 1.090047591 0.038477277 0.044098663 0.179558929 0.291117133 0.118828748 
         93          94          95          96          97          98          99         100         101         102 
0.133590968 0.074486862 0.235221600 1.928091666 0.283737169 0.400243035 0.689534518 0.177452682 0.622355590 0.002947362 
        103         106         107         108         109         110         111         112         114         115 
0.453982164 0.209642051 3.251850906 0.494834175 1.085759274 6.033621240 0.720521603 0.078134596 0.042380742 0.466067223 
        116         117         118         119         120         121         122         123         124         125 
0.266556088 2.343509920 3.737682403 0.404928024 2.272474512 0.383775346 0.627923802 0.150335174 0.719703287 0.479852815 
        126         127         128         129         130         131         132         133         134         135 
0.004848322 0.019950585 0.444907504 0.113893317 0.093365998 0.322806148 0.381678485 0.084678297 0.092112888 0.027030502 
        136         137         138         139         140         142         143         144         146         147 
7.411543446 0.996506077 0.387952744 2.508752336 0.981976778 0.292992813 3.027212227 0.096078307 6.756471825 0.599010731 
        148         149         150         151         152         153         154         155         156         157 
2.842880858 4.003503202 3.985918711 0.621040424 0.044129099 6.915649482 1.178234208 0.047245413 0.186614354 0.021004158 
        158         159         160         161         162         163         165         166         168         169 
0.065108492 2.629024577 1.752328113 4.432870979 0.063076298 0.138756248 0.167142089 0.754957364 0.112022435 5.826859346 
        170         171         172         173         174         175         176         177         178         179 
0.161223940 0.033797987 1.693781903 2.542319238 0.142673292 1.063504581 0.181829607 0.628477729 0.570365199 0.322066942 
        180         181         182         183         184         185         187         188         189         190 
0.710691411 0.549815796 1.641645595 4.046749310 0.219033502 2.384040127 5.638057956 0.293154049 3.665546719 0.551105092 
        191         192         193         194         195         196         197         198         199         200 
0.827652436 1.241787518 1.810449404 3.344156391 1.065526326 1.559244947 0.657197611 0.583702147 3.462908396 0.490016407 
        201         202         203         205         206         207         208         209         210         211 
5.003420874 1.894113472 0.370328806 0.158333428 0.812829767 1.248338764 1.037824125 1.537366905 7.502144615 1.409516242 
        212         213         214         215         216         217         218         219         220         221 
3.484037114 2.248376241 0.365854783 0.854402496 3.513353820 1.780681852 1.957470512 2.603823216 0.361132123 5.386961233 
        222         223         224         225         226         228         229         230         231         232 
1.409230797 1.903826770 4.656208736 5.789060980 5.229606964 2.788342169 0.336648033 3.915101470 1.482113429 0.396439161 
        233         234         235         236         237         238         239         240         241         242 
1.227259261 0.639355007 7.782586287 1.500015086 0.030496972 0.008623973 2.967166586 0.923420274 0.979401903 1.019777849 
        243         244         245         246         247         248         249         250         251         252 
5.031547141 3.191870919 4.979222083 0.328968496 2.772059048 2.817643967 1.875970837 2.150229031 4.349945652 1.998898426 
        254         255         256         257         258         259         260         261         262         263 
0.797102875 0.023215645 0.713621195 1.355231247 0.041647371 4.089962050 0.131192895 0.096562884 3.556302224 2.754604016 
        264         265         266         267         268         269         270         271         272         273 
0.710564763 0.119080026 1.222860555 0.482314098 0.152937579 0.070848384 0.065273495 5.711054662 9.038554093 0.059185318 
        274         276         277         278         279         280         281         282         283         284 
2.019236945 2.485765867 0.177990962 0.045694109 0.119166664 2.978185579 1.212801868 1.565094179 0.073397067 0.058628800 
        286         287         288         289         290         291         292         293         294         295 
0.006765783 0.737713559 0.580923120 0.146089343 6.706170702 0.532974269 0.286674169 1.892444041 0.035851703 0.795568097 
        296         297         298         299         300         301         302         303         304         305 
0.996143765 1.232201403 0.687951340 0.279909791 0.032523843 0.137818224 4.129088569 0.820785701 1.979523830 0.070775667 
        306         307         308         309         310         311         312         313         314         315 
0.032302635 2.650925416 0.043227496 0.453881100 1.169254228 0.079520807 0.068501996 0.696890700 0.138162823 0.271797261 
        316         317         318         319         321         322         323         324         325         326 
0.578116211 0.276772386 0.004378472 0.016504323 0.999851968 0.147413110 2.087420389 7.955171867 3.464021953 0.630169373 
        327         328         329         330         331         332         333         334         335         336 
0.226834756 3.279838048 1.623354975 0.767489693 1.574409550 0.072345957 0.361574476 1.850708351 0.279161423 0.019522754 
        337         338         339         340         341         342         343         345         346         348 
2.332760154 0.297045713 0.182586728 0.874216963 1.464485716 0.052918318 0.941746348 0.499084732 5.388445741 5.757112553 
        349         350         351         352         353         354         355         356         357         358 
0.179968292 1.713961572 0.166063521 0.246868824 0.116758330 0.162168809 0.012622997 3.634659409 0.055065235 1.727663773 
        359         360         361         362         363         364         365         366         367         368 
0.433212187 0.157814567 0.426153658 1.038172201 4.416107061 3.223871668 1.254462136 0.695536329 2.234306141 0.574195195 
        369         370         371         372         373         374         375         376         377         378 
0.668189684 0.447502993 0.014041164 2.698481893 3.631873380 0.708968828 2.019000026 0.655502773 5.444294051 4.116352497 
        379         380         381         382         383         384         385         386         387         388 
0.773703479 0.601201391 2.285438918 0.056128078 0.333104753 5.493895761 0.191841070 0.072197585 0.064377891 0.356958163 
        389         390         391         392         393         394         395         396         397         398 
0.105088369 1.707266305 5.950039334 0.838760105 0.428973439 5.002882469 0.684894780 1.043687338 0.025425828 0.067453226 
        399         400         401         402         403         404         405         406         407         408 
1.116168629 2.493039391 9.821848738 0.038657143 0.455735181 0.231942873 0.473155093 1.933366728 2.305939438 0.118313716 
        409         411         412         413         414         415         416         417         418         419 
0.461212362 0.932775999 0.782195888 0.167954760 2.746504695 0.545466240 1.801641134 2.113424785 0.089651446 1.472769897 
        420         421         422         423         424         425         426         427         428         429 
0.585174557 0.090273286 0.930677100 1.248309682 0.128021062 0.893539937 2.588920445 0.674426371 0.115462692 0.010474874 
        430         431         432         433         434         435         436         437         438         439 
0.672017334 0.030279808 0.064129862 0.017881277 0.290060725 0.423087661 0.161264843 0.110993659 0.403056459 0.074953535 
        441         442         443         444         445         446         447         448         450         451 
5.004959032 0.057018138 2.381342701 0.530360523 3.029409708 0.060964801 0.401548659 0.057371150 0.540159708 1.740555563 
        452         453         454         455         456         457         458         459         461         463 
0.232338643 1.984801195 0.064769906 0.601450902 6.643184312 0.429005940 0.673257868 0.946428740 0.031690029 1.339759899 
        464         465         466         467         468         469         470         472         473         474 
2.691758901 0.400730237 0.314216180 0.149205809 1.106293029 0.361787424 0.654468148 0.765731044 0.197711528 0.726664723 
        475         476         477         478         479         480         482         483         484         485 
0.198059582 9.396700285 0.194357117 0.168643766 0.103948658 2.267889380 0.049553652 0.118188632 0.670545712 0.004429554 
        486         487         488         489         490         491         492         494         495         496 
1.031957837 0.189441654 2.100596502 3.101820413 0.934089925 0.778962055 0.209049590 0.052279495 1.973506927 4.308454533 
        497         498         499         500         501         502         503         504         505         506 
1.951862232 0.256777728 1.624573471 0.504851813 0.202043473 0.383346779 0.098727746 0.079697666 3.705604241 2.486236111 
        507         508         509         510         511         512         513         514         515         516 
3.965321281 0.189346862 2.061207984 0.220123911 1.112738831 4.567822657 0.214271272 0.734060478 0.118812873 2.363838256 
        517         518         519         520         521         522         523         524         526         527 
0.443935088 0.183605203 0.014759937 0.020651029 0.068256049 0.036259785 0.175622358 0.424858334 0.219398254 2.475751452 
        528         529         530         531         532         533         534         535         536         537 
0.074124936 0.272354514 0.589281086 0.033299168 0.190033741 0.079788243 0.383730771 2.146356512 2.454465501 3.611698116 
        538         539         540         541         542         543         544         545         546         547 
0.027020876 1.199753954 2.730517174 0.168655125 0.378242693 3.369408082 0.403963622 0.097791920 0.312385293 0.027630238 
        548         549         550         551         552         553         554         555         556         557 
1.020068992 0.045619805 0.171517456 0.055919029 1.386066577 0.051953765 0.981384814 0.019087102 0.820575946 0.102161628 
        558         559         560         561         562         563 
0.120268147 0.053547547 0.276494247 0.054975847 0.173433241 0.896463677

Als je dat wil kan je dit opnieuw zelf narekenen voor een bepaalde observatie, bijvoorbeeld nummer 54.

\[\frac{\pi}{1-\pi} = e^{-4.7105759} \approx 0.0089996\]

Kansen

Als je eenmaal de odds hebt, dan is het ook mogelijk om de voorspelde kansen $\pi$ te berekenen.

\[ \begin{align*} odds &= \frac{\pi}{1-\pi} \\ & \Updownarrow \\ \pi &= \frac{odds}{1+odds} \end{align*} \]

In R kan je op basis van die formule een object (hier kansen) maken dat voor elke observatie de voorspelde kans bevat.

kansen <- odds/(1+odds)

Je kan de kansen ook veel sneller bekomen via de functie predict(), door een extra argument mee te geven, of nog korter via de functie fitted().

kansen <- predict(mdl.interactie, type="response")
# of
kansen <- fitted(mdl.interactie)

12 Referenties

Van Nieuwenhove L. & De Wever B. (2023). Psychosocial barriers to adult learning and the role of prior learning experiences: A comparison based on educational level Adult Education Quarterly, doi: 10.1177/07417136231147491

13 Voetnoten

Elk van deze drie variabelen is berekend door meerdere items uit een enquête te combineren.↩︎
We interpreteren hier alle schattingen zonder rekening te houden met significantie.↩︎

Binaire logistische regressie met interactie-effecten